تطبيقات لتعليم الرياضيات

الزوايا 

www.geogebra.org/m/R5erzJYK

المثلثات 

 www.geogebra.org/m/x2RRyasrا

القياس 

www.geogebra.org/m/M8CQGFQe






القطع المخروطيه 

www.geogebra.org/m/qasvqcvv

كيف تصبح بارعاً في الرياضيات

سأخبرك ياعزيزتي الطالبه ببعض الأمور اللي تساعدك ان تكوني بارعه 

معكم : حور سامي 

الصف : خامس /٥ 

المدرسة : ٤٥ الابتدائية 

المحتويات 

 ١ الممارسة والتدرب

 ٢ التحضير جيداً للامتحان 

٣ أمور أخرى تساعد على النجاح في الرياضيات 

٤ المراجع

الممارسة والتدرب

يمكن للفرد أن يصبح بارعاً في الرياضيات من خلال الممارسة والتدرب، حيث أنه كلما تدرب الطالب على حل المسائل بشكل أكبر؛ كلما تمكن من فهم المفاهيم والتقنيات بشكل أفضل، وبشكل عام؛ فإن غالبية الطلاب لا يتدربون على حل مسائل الرياضيات بشكل كافي، ويكتفون بالتدرب على حل مسألة واحدة أو عدة مسائل فقط، وهذا ما يفسر عدم حصولهم على درجات عالية في الرياضيات، حيث يتوجب عليهم التدرب بشكل مكثف حتى يتمكنو من تعلم كيفية التعامل مع الفوارق الدقيقة التي قد تظهر أثناء حل المسائل.

التحضير جيداً للامتحان 

يمكن للفرد النجاح في الرياضيات، وتحقيق درجات عالية من خلال التحضير جيداً للامتحان، بحيث يقوم بما يلي:

* الاجتماع مع أحد زملاء الدراسة، أو مع مجموعة دراسية لمراجعة المادة بشكل نهائي، حيث أن القيام بذلك من شأنه تمكين الفرد من الحصول على المساعدة في حال احتاج إلى ذلك. 

*دراسة كل فصل على حدة، ثم إختبار نفسه من خلال معرفة ما إذا كان بإمكانه حل المسائل التي يتضمنها الكتاب.

 *مراجعة الاختبارات السابقة التي تقدم لها في حال امتلاكه لها، ثم محاولة حلها في غضون خمسين بالمئة من الوقت الفعلي المخصص للإجابة عليها.

* الحصول على كمية كافية من النوم في الليلة التي تسبق يوم التقدم للامتحان.

* تناول إحدى أنواع الحلويات قبل التقدم للاختبار بنصف ساعة، وذلك في حال كان الطالب لا يعاني من مرض السكري.

 أمور أخرى تساعد على النجاح في الرياضيات 

يوجد العديد من الأمور الأخرى التي يتوجب على الفرد القيام بها حتى يصبح بارعاً في الرياضيات، ومنها:

* الحضور إلى الفصل الدراسي بانتظام، والتركيز والانتباه خلال الفصل.

 *وقت يومي مكثف لدراسة الرياضيات. استخدام جدول زمني لتنظيم الوقت، حيث أن القيام بذلك يضمن للفرد الدراسة بشكل يومي. 

*دراسة الملاحظات التي يتم تدوينها خلال الفصل الدراسي.

* إحضار جميع المواد اللازمة لفصل الرياضيات بشكل يومي مثل الكتاب المدرسي، وأقلام الرصاص، والحاسبة. 

*طرح الأسئلة خلال الفصل الدراسي حول أي أمر غير واضح، سواء كان ذلك حول إحدى الواجبات المنزلية، أو المواد التي يتم طرحها في الفصل الحالي. 

المراجع 

↑ "How Can You Succeed in Math Classes?", www.sscc.edu, Retrieved 26-7-2018. Edited.

↑ "How to Succeed in Mathematics", www.academics.ivc.edu, Retrieved 26-7-2018. Edited.

علماء الرياضيات

علماء الرياضيات 

 ساهم ظهور عدد كبير من علماء الرياضيات في العصور السابقة على التطوّر الكبير الذي شهده علم الرياضيات من بداياته وحتى الوقت الحاضر فقد بنى علماء الرياضيات أفكارهم ونظرياتهم على مجموعة من الأرقام والحسابات الدقيقة، التي أدّت إلى ظهور القوانين الرياضية وتطوّرها على مرّ السنين، وما بدأ بفكرة بسيطة أو تساؤل ما لديهم انتهى بنظرية أو قانون ارتكز عليه علم الرياضيات بشكل كبير، مما دعا إلى تخليد أسمائهم في عالم الرياضيات والأرقام، واعتبارهم نابغة من نوابغ هذا العالم، والذين لم يسبق لهم مثيل، ومنهم:


الخوارزمي

 أشهر علماء الرياضيات، يعود نسبه إلى مدينة خوارزم الخراسانية، التفت إلى الاهتمام بالرياضيات منذ شبابه، إلا أنّ إبداعاته في علم الرياضيات بدأت بالظهور في عام 813 هجري، واستمرّت إلى عام 833 هجري، من أشهر إنجازاته في علم الرياضيات نظريات الخوارزمية التي سمّيت على اسمه، بالإضافة إلى وضعه حجر الأساس الأول لعلوم الحاسوب، وإنجازاته الكبيرة في تفرّعات الجبر التي ساعدت في ظهور علم الجبر فيما بعد، وأعماله المختلفة في الفلك ورسم الخرائط. نشر الخوارزمي العديد من الكتب التي كتبت باللغة العربية، والتي ترجمت فيما بعد إلى العديد من لغات العالم، وكانت أساساً تدريس الرياضيات في الكثير من الجامعات والكليات الأوروبية.








عمر الخيام 

ركّز الخيام في إنجازاته على علم الجبر، والأسس المرفوعة للأرقام، وساهم في تطور النظرية ذات الحدين، لتشمل الأسس المرفوعة إلى الأعداد الصحيحة الموجبة، كما اهتم بإيجاد حلول منطقية للمعادلات الجبرية من الرتب الثانية والثالثة، وتمكّن من وضع الكثير من الحلول للمعادلات من الرتبة الثانية، وكان أوّل من استعان بالجبر في حساب المثلثات.














نصر الدين الطوسي


 لقّب بالعلامة، نظراً لإجادته عدداً من اللغات المهمّة في مجالات العلوم، ممّا ساعده على قراءة كتب العلوم المختلفة والإلمام بكم هائل من المعلومات، اهتم بالرياضيات والفلك، والهندسة وحساب المثلثات، كان كتابه شكل "القطاعات" أوّل كتاب يختص بحساب المثلثات، فترجم إلى عدد كبير من اللغات، واستعمل بشكل واسع في معظم بقاع العالم.









بيير دي فيرمات 

ولد وعاش في فرنسا، درس المحاماة في شبابه ومارسها لفترة طويلة، كما توغل في علم الرياضيات بشكل واسع، حيث قام بوضع الركائز الأولى التي قامت عليها نظرية الأعداد الحديثة، بالإضافة إلى ابتكاراته وإنجازاته الكبيرة في حقول الاحتمالات والهندسة التحليليّة، بعيداً عن سابقاتها من الإنجازات، كما قام ببرهنة المسألة الشهيرة التي اشتهرت باسم مبرهنة فيرما الأخيرة.

فيثاغورس

فيثاغورس

وُلِدَ العالم فيثاغورس في جزيرة ساموس (بالإنجليزية: Samos) التي تقع قُبالة شواطئ الأناضول، وكان ذلك في سنة 560 قبل الميلاد، ويُعدّ فيثاغورس من أهم الفلاسفة الذين قَدِموا بعد الفيلسوف اليوناني الشهير سقراط، وقد أدرك فيثاغورس الأهمية البالغة لعلم الرياضيات، كما وأنّه استطاع الوصول للمثلث الحسابي، وجاء ذلك بعد قيام فيثاغورس بالتنقل بين الحضارات القديمة وهو في ريعان شبابه، ومن هذه الحضارات: الحضارة المصرية والحضارة البابلية؛ حيثُ تعرّف من خلال تجواله على كيفية دراسة تراث هذه الحضارات للأعداد، وبعد جولاته العدة قرر العودة لـ (كروتونا Crotona) في إيطاليا والاستقرار فيها؛ حيثُ أسس فيها مدرسته الخاصة الفلسفية التي تتناول مواضيع عدة؛ كدراسة الأعداد والأشكال الهندسية، ووضع النظريات، وأهمها نظريته الشهيرة (نظرية فيثاغورس) التي تركت بصمة واضحة في علم المثلثات؛ حيثُ ساعدت هذه النظرية على حل المثلثات من خلال إيجاد الضلع الثالث في المثلث القائم الزاوية، وعُبّر عن هذه النظرية بالمعادلة التالية:

(طول الوتر)²= (طول الضلع الأول)² +( طول الضلع الثاني)²،

أما عن وفاة فيثاغورس، فكان ذلك في سنة 480 قبل الميلاد



 شرح نظرية فيثاغورس 

إنّ ما يُميّز المثلث القائم الزاوية عن غيره من المثلثات الأخرى هو وجود زاوية قائمة قياسها 90 درجة، ويمكن تعريفه أيضاً على أنّه المثلث الذي فيه مربع طول أحد جوانبه مساوٍ تماماً لمجموع مربعي الجانبين الآخرين، ويُطلق مُسمّى الوتر على أطوال جوانب المثلث القائم، (وبمعنى آخر الوتر: هو الجانب الذي يُقابل الزاوية القائمة


 ومن الأمثلة التي توضح كيفية استخدام نظرية فيثاغورس للمثلث القائم ما يلي:

 مثال1: 
إذا علمت أن أطوال الجوانب التالية تُمثل أطوال جوانب مثلث وهي 8سم، 15سم، 17سم، فهل المثلث قائم الزاوية؟

الحل: لا يوجد معلومة في السؤال تبين وجود زاوية قياسها 90 درجة، لذلك نلجأ لنظرية فيثاغورس وهي (مربع طول أحد جوانب المثلث (الوتر) مساوٍ تماماً لمجموع مربعي الجانبين الآخرين). 

(17)²=289، (15)²=225، 
(18)²=64.

 289= 225+ 64. 

إذن المثلث قائم الزاوية. 

مثال2:
أ ب ج مثلث قائم الزاوية في ب، فيه أ ب=1سم، ب ج=1سم، جد طول الضلع أ ج؟

الحل: من خلال الرسم التقريبي للمثلث وتسمية رؤوسه، نلاحظ بأنّ الضلع أج يُقابل الزاوية القائمة ب وبالتالي فإن أ ج هو الوتر، وبناءً عليه فإنّ: 

(أ ج)²= (أ ب)² +( ب ج)².

 (أ ج)²= (1)² +(1)².

 (أ ج)²= 2 

وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين،

 تُصبِح النتيجة:
 طول أج يساوي الجذر التربيعي للعدد 2، 

ويساوي تقريباً 1.41421

معادله القطع الناقص

القطع الناقص 

نموذج عملي لاستنتاج معادله القطع الناقص 

اذهب إلى التنقلاذهب إلى البحث

شكل 1:القطع الناقص وبعض خصائصه

أمثلة الإهليالقطع الناقص أو الإهليلج (بالإنجليزية: Ellipse) هو المنحني المستوي الذي يحقق الخاصية التالية: مجموع بُعد أي نقطة على هذا المنحنى عن نقطتين ثابتين داخله (تسميان البؤرتان) يبقى ثابتا.^[1][2][3]

البؤرتان هما النقطتان F1 و F2 في الشكل.

أي يمكن رسم القطع الناقص بواسطة خيط مثبت من طرفيه في نقطتين f1 , f2 ورسم القطع الناقص بالقلم حولهما انطلاقا من النقطة x .

شكل 2:مخروط دائري قائم (يسار) و الآخر مائل (يمين) وقاعدته تشكل قطعا ناقصا.

القطع الناقص هو أيضا أحد أنواع القطوع المخروطية، فعند قطع مخروط بمستوى مائل على محور المخروط نحصل على قطع ناقص.

يُهتم بالقطع الناقص بصفة خاصة بسبب أن الأجرام السماوية تسير في أفلاك حول الشمس في مدارات في شكل القطع الناقص ، وتحتل الشمس أحد بؤرتيه. هذا ما توصلت إليه قوانين كيبلر. فعند مشاهدة مذنب يأتي من الجزء الخارجي للمجموعة الشمسية منجذبا إلى الشمس تزداد سرعته تدريجيا ثم يُجري منحنيا خلفها ثم يبتعد عنها ثانيا ، وتنخفض سرعته اثناء ابتعاده عن الشمس. هذا المسار يكون في شكل قطع ناقص ؛ وتكون الشمس في إحدى بؤرتيه.

قطع ناقص مركزه في ${\displaystyle M}$, وله بؤرتين ${\displaystyle F_{1}}$ و ${\displaystyle F_{2}}$ , محوره الكبير (أحمر) ومحوره الصغير (أخضر).

خواص مماسية

مقطع في مخروط يمثل قطعا ناقصا.

أنظر الشكل 1: النقطة x هي إحدى النقط على القطع الناقص. والنقطتان F1 و F2 هما بؤرتي القطع الناقص. إذا وصـّلنا خيطا طويلا شيئا ما بين البؤرتين وقمنا من النقطة x برسم محيط حولهما نحصل على شكل القطع الناقص.

إذا أقمنا العمودي على خط المماس عند النقطة P فإن العمودي يقسم الزاوية بين الخط xF2 والخط xF1 إلى زاويتين متساويتين (انظر الشكل 1 أو الشكل 3).

شكل 3 :العمودي على المماس عند أي نقطة P ينصف الزاوية التي يمر ضلعيها ببؤرتي القطع الناقص.

دعونا نرى بعض النتائج المترتبة على هذا البيان:

في طاولة بلياردو على شكل اهليج, إذا القينا كرة على حفتها من إحدى بؤرتيها ستنعكس بالضرورة على البؤرة الأخرى.

والشيء نفسه يحدث في مرآة مقعرة على شكل اهليج فيه جميع أشعة الضوء المنبعثة من بؤرة تمر بالضرورة بالبؤرة الأخرى بغض النظر عن اتجاه كل شعاع.

وبالمثل، في غرفة على شكل قطع ناقص تصل الموجات الصوتية التي تبدأ في بؤرة إلى البؤرة الأخرى من كل الاتجاهات ؛ وبما أن مسافة المسار للوصول من بؤرة إلى أخرى متساوية فإن موجات تصل بشكل متزامنة تماما : هذا ما يفسر أيضا سهولة التواصل السمعي بين شخصين موضوعين في البؤرتين حتى إذا ما كانا متباعدين.

باستخدام خواص القطع الناقص يمكن بناء مسرحا يتمتع فيه جميع الزوار بسماع الصوت منتظما .

المعادلات الجبرية والتباعد المركزي

شكل4:القطع الناقص وبعض خواصه:
المحور الأكبر هي المسافة بين a , -a
المحور الأصغر هي المسافة b , -b
PF1+ PF2 =2a
e=PF2/PD
e= معامل التباعد المركزي.

يمكن رسم القطع الناقص في هيئة منحنى في مستوى كارتيزي بالإستعانة بخط خارجه يسمى الدليل D (أنطر الشكل 4) :

وفيه ينطبق : ${\displaystyle PF2=e.PD}$

أي أن حاصل ضرب أي خط مثل PD في معامل التباعد المركزي e يساوي الخط PF2.

حيث P هي نقطة على محيط القطع الناقص والمسافة PD هي بعدها عن الدليل D (الخط الرأسي المنقط الأزرق). PD يسقط دائما عموديا على الدليل D .

أي أن الاختلاف المركزي قيمته:

${\displaystyle PF2/PD=e}$

في الرسم البياني الكرتيزي يمكننا تمثيل النقطة ${\displaystyle P}$ بالنقطة ${\displaystyle (x,y)\,}$ على المحورين x , y :

فتكون ${\displaystyle F2\,}$ إحدى البؤرتين و F1 هي البؤرة الثانية للقطع الناقص.

بالنسبة إلى ${\displaystyle e\,}$ معامل التباعد المركزي فهو للقطع الناقص يساوي دائما ${\displaystyle (1>e>0)\,}$.

(إذا كانت e=1 ينتج قطعا مكافئا ، وإذا كانت e>1 ينتج قطعا زائدا ، وإذا كانت e=0 تنتج دائرة) وتجتمع فيها البؤرتان في بؤرة واحدة.)

نسبة المسافة بين النقطة P والبؤرة والمسافة بين P والدليل ثابتة وتساوي معامل التباعد المركزي ${\displaystyle e\,}$.

يمكن تبسيط معادلة القطع الناقص في النظام الكرتيزي بدلالة القطرين a وb بالمعادلة :

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,}$

لاحظ العلاقة الخاصة عندما يكون a مساويا لـ b يمكن الحصول على معادلة الدائرة (بوضع ${\displaystyle a=b=R\,}$)

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}={\frac {x^{2}}{R^{2}}}+{\frac {y^{2}}{R^{2}}}=1\,}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}\,}$

يعطى معامل التباعد المركزي أيضا بالعلاقة:

${\displaystyle e=\varepsilon ={\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}}={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}}$

كما أن المسافة من أي من البؤرتين إلى المركز C هي حاصل الضرب ${\displaystyle a.e\,}$, وهي تساوي أيضا ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$

يمكن إعادة تعريف القطع الناقص عندما تنزاح محاوره عن نقطة الأصل إلى نقطة ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\,}$ على الصورة:

${\displaystyle {\frac {(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}}=1\,}$

طرق عملية لرسم القطع الناقص[عدل]

هناك العديد من الطرق منها مايلي.

طريقة الخيط والمسمارين

رسم القطع الناقص: طريقة غاردنر.

تعتبر هذه الطريقة من أدق الطرق المستعملة في رسم القطاعات الناقصة كما تتميز بسهولة استخدامها إذ تعتمد فقط على تحريك خيط مثبت بين مسمارين. لرسم قطع ناقص يمكن اتباع التعريف والستعانة بخيط مرن (مثل خيط إبرة الخياط) وعمل الاتي:

• من تعريف القطع الناقص فإن مجموع أي ضلعين ممتدين من البؤرة وملتقيان في الطرف الاخر على المحيط يكون ثابتا (أزرق). وهذا يمثل طول الخيط الإجمالي L.
• لتحديد طول الخيط L ينطبق ${\displaystyle L=2a\,}$.
• لتحديد البعد بين البؤرتين المراد تثبيت طرفي الخيط عليهما نعلم أن القطع الناقص يميزه اختلاف مركزي يساوي e .
• الآن بمعرفة البعد بين البؤرتين يمكن تثبيت الخيط بمسمارين البعد بينهما يساوي 2a. e والبدء بتحريك قلم أو أداة الرسم لتنزلق حول الخيط المشدود وتكمل محيطا مغلقا.

الاختلاف المركز e للقطع الناقص قيمته دائما بين 0 و 1 .

وفي الحالة الخاصة عندما تكون e=0 يكون الناتج دائرة.

لهذ نسمي e معامل التباعد المركزي.

طريقة المسطرة والإطار

طريقة المسطرة والإطار

في هذه الطريقة تثقب المسطرة من نقطة غير الوسط (لغير الدائرة) وتنزلق بين ضلعي إطار متعامدين. إذا وضع قلم الرسم مثلا داخل الثقب سيتم رسم ربع قطع الناقص في كل انزلاق مكتمل.

طريقة الاسطوانة المقطوعة

تتمثل هه الطريقة في عمل اسطوانة دائرية قطرها يساوي القطر الأصغر للقطع المطلوب ثم يتم قطعها (بالمنشار مثلا) بشكل مائل بحيث يكون امتداد طوله مساوي طول القطر الأكبر في القطع الناقص. يصبح السطح المقطوع صورة مثالية للقطع الناقص ويمكن رسم القطع حوله عند تثبيته على ورقة الرسم.

الطرق العددية

يمكن الاستعانة بالتعريف الرياضي للقطع الناقص ورسم نقاط معينة لـ x و y بدلالة a وb. حيث يمكن تبسيط التعريف الأصلي إلى:

${\displaystyle y=\pm b{\sqrt {1-x^{2}/a^{2}}}}$

عند وجود عدد كاف من النقاط لكل زوج (x,y) يمكن بوصل النقاط واحدة تلو الأخرى الحصول على صورة تقريبية للقطع الناقص. توجد طرق تقريبية أخرى مثل الدائرتين والشعاع والمماس.

الصيغة البارامترية

رسم النقاط على أساس الصيغة البارامترية واستخدام الإحداثية لإحداثيى t التي ترجع إلى دي لاهير.

قطع ناقص: شكل متحرك لطريقة دي لاهير.

باستخدام معادلات حساب المثلثات ${\displaystyle \cos ,\sin }$ يمكن صيغة القطع الناقص ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

حيث:

• ${\displaystyle (x,y)=(a\cos t,b\sin t),\ 0\leq t<2\pi \ .}$

ترجع الإحداثية t المستخدمة في الرسم إلى عالم الرياضيات فيليب دي لاهير.^[4]

حيث:

t متغير بارامتري (ليس زاوية حقيقية)

مساحة القطع الناقص

يمكن باستخدام التكامل المحدود إثبات أن مساحة القطع الناقص بدلالة a و b هي:

${\displaystyle A=\pi ab\,}$

محيط القطع الناقص

قد يظن البعض أن محيط القطع الناقص قانون سهل, وفي الحقيقة لايمكن إيجاد صيغة أساسية لمحيط القطع الناقص ولكن يمكن إيجاد صيغ تكرارية أشهرها الصيغ المستنتجة من قوانين تكامل طول المنحنى.

${\displaystyle C=2\pi a\left[{1-\left({1 \over 2}\right)^{2}\varepsilon ^{2}-\left({1\cdot 3 \over 2\cdot 4}\right)^{2}{\varepsilon ^{4} \over 3}-\left({1\cdot 3\cdot 5 \over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}{\varepsilon ^{6} \over 5}-\dots }\right]}$

قطع ناقص (أحمر) نحصل علية بقطع مخروطبمستوي مائل.

وبطريقة أشمل

${\displaystyle C=2\pi a\sum _{n=0}^{\infty }{\left\lbrace -\left[\prod _{m=1}^{n}\left({2m-1 \over 2m}\right)\right]^{2}{\varepsilon ^{2n} \over 2n-1}\right\rbrace };\,\!}$

كما تعطي طريقة رامانجن تقريبا أفضل:

${\displaystyle C\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]}$

وبتقريب آخر:

${\displaystyle C\approx \pi \left(a+b\right)\left(1+{\frac {3\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}{10+{\sqrt {4-3\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}}}}\right);\!\,}$

كحالة خاصة عندما يكون القطر الأصغر نصف الأكبر:

${\displaystyle C\approx {\frac {\pi a(9-{\sqrt {35}})}{2}}}$

وبتقريب مكتسب عمليا:

${\displaystyle C\approx {\frac {a}{2}}{\sqrt {93+{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}}}}$